Trabajo: EL NÚMERO AUREO

INTRODUCCIÓN

Desde el siglo V antes de Cristo, un número ha llenado el mundo del arte, de la arquitectura... Actualmente está presente en nuestra vida social y en el mundo que nos rodea.

Es el número de oro, también conocido como "razón dorada", "sección áurea", "razón áurea" y "divina proporción", como la llamaron los renacentistas. Tiene un valor de (1+ raíz de5)/2, es decir, 1.61803, y se nombra con la letra griega Phi. El número áureo fascinó como ideal de belleza a griegos y renacentistas, quienes lo utilizaron en matemática, arte, arquitectura, etc.

Existen también otros números con nombre propio de todos conocidos: Pi y e. Aunque son también irracionales como el número de oro, existe una diferencia matemática muy importante entre ellos y el número áureo: Pi y e (a estos números se los llama trascendentes) no son solución de ninguna ecuación polinómica, mientras que el número de oro, sí que lo es.

El número de oro está relacionado con la serie de Fibonacci, lo que os propongo aquí, es un viaje a través de la historia de las matemáticas, para conocer el origen de Phi y el uso que se ha hecho de ésta proporción en el mundo del arte y de la arquitectura. El objetivo de este viaje es conocer este número irracional tan curioso y apreciarlo en la naturaleza y en nuestra vida diaria.

TAREA

Para llevar a cabo el trabajo formareis grupos de tres o cuatro personas, cada grupo trabajará de forma independiente y desarrollará de forma resumida los siguientes aspectos:

¿Quién es Leonardo de Pisa?

Serie de Fibonacci

¿Qué es el número áureo?

Propiedades del número de oro

Phi en el arte y la naturaleza.

Phi en nuestra vida diaria

Presentaréis vuestros resultados en un documento en Word con texto e imágenes y presentación en Power Point o mediante posters.

PROCESO

Cada uno de los miembros del grupo buscará información y desarrollará alguna de las cuestiones planteadas en la Tarea.

Cada componente del grupo expondrá al resto la información que ha encontrado y entre todos la depurarán y elaborarán hasta hacer el informe único entre todo el grupo.

Es muy importante que antes de poneros a escribir, habléis sobre cómo vais a hacer el trabajo, en qué formato lo vais a presentar, cómo os vais a repartir el trabajo.

Trabajad de forma ordenada y sin perder tiempo.

CONCLUSIÓN

Tras la realización de este trabajo habréis comprobado que las posibilidades de la red son enormes,...¡hasta para estudiar matemáticas!.

Y para terminar, os presento el siguiente cuestionario que puede servir para que autoevaluéis el trabajo realizado y poder hacerlo aún mejor la próxima vez.

Búsqueda de información.

1.- ¿Cuántas de las páginas Web propuestas en el apartado “recursos” habéis consultado?

2.- ¿En cuántas de ellas habéis encontrado información que luego hayáis usado en vuestro trabajo?

3.- De los puntos propuestos, ¿cuántos habéis completado consultando más de una página Web?

Trabajo en equipo.

1.- ¿La contribución de los componentes del equipo ha sido equilibrada?

2.- Cuando teníais diferentes opiniones sobre cómo desarrollar el trabajo ¿os poníais fácilmente de acuerdo?

Informe final.

1.- ¿Habéis seguido todos los pasos indicados en la sección “Proceso”?

2.- ¿Habéis completados todos los puntos indicados en la sección “Tarea”?

3.- ¿Estáis satisfechos con el trabajo resultante?

Niveles de colesterol

Se ha medido el nivel de colesterol en cuatro grupos de personas someti das a diferentes dietas. Las medias y las desviaciones típicas son las que figuran en esta tabla:

Las gráficas son, no respectivamente:

Asocia a cada dieta la gráfica que le corresponde.

Busca en la web del INE (Instituto nacional de Estadística)

• ¿Qué Comunidad Autónoma consumió más electricidad en 2007?

• ¿Cuál es la población de Córdoba (provincia), separada por sexos, a fecha 1 de enero de 2009?

• Indica el número de títulos de libros publicados en 2009 en España.

• ¿Cuántos centros educativos no universitarios en España, disponían de página web entre 2004 y 2005?
  

El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de Bachillerato es el siguiente:

1. Formar la tabla de la distribución.

2. Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él?

3. Calcular la moda.

4. Hallar la mediana.

5. ¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más pesados?

GRÁFICAS CURIOSAS

Función en escalera
Es una función definida en el conjunto de los números reales.
f (x) = entero inmediatamente menor o igual que x.
Su gráfica es:Se suele indicar esta función como f (x) = E(x) o f (x) = [x] y se lee «efe de equis igual a parte entera de equis».
¿Qué valor corresponde a f (3, 18)?¿Por qué se llama parte entera?

Un peine inclinado
Estudia ahora la función g (x) definida a partir de la anterior, E(x), y también definida en el conjunto de los números reales: g(x) = x – E(x).Su gráfica es:


Función sierra
Es otra función definida en el conjunto de los números reales: s(x) = distancia (positiva) entre x y el entero más próximo. Ésta es su gráfica.
¿Sabes cúanto vale s(–3, 7)?¿Y s(4, 2)?

ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES

1. ¿Existirá alguna función f (x) tal que para dos números cualesquiera a y b suceda que

f (a + b) = f (a) + f (b)?

2. ¿Existirá alguna función g(x) tal que para dos números cualesquiera a y b suceda que

g(a + b) = g(a) · g(b)?

3. Más difícil todavía. ¿Existirá alguna función h(x) tal que para dos números cualesquiera a y b suceda que

h(a · b) = h(a) + h(b)?

Cinco piratas:

En lo mas profundo del Caribe, cinco piratas enterraron sus tesoros en una misma isla. Debéis descubrir en que playa desembarco cada pirata, donde enterró su tesoro y en que consistía este.

1-Ningún pirata enterró el tesoro en la misma playa en que desembarco.
2-El Capitán Blood enterró monedas de oro, pero no lo hizo en el centro de la isla.
3-Quien desembarco en la playa este (no fue el Capitán Muerte) llevo tejidos de seda y oro.
4-Quien desembarco en la playa sudoeste enterró el tesoro en la playa oeste.
5-El Capitán Negro desembarco en la playa oeste. No llevaba vasijas.
6-En la playa sur se desembarcaron diamantes que no se enterraron en la playa norte.
7-El Capitán Murder desembarco en la playa norte, pero no enterró su tesoro en el centro de la isla.
8-Las perlas se enterraron en la playa este.

Cinco casas:

Hechos:

1: Tenemos 5 casas de 5 diferentes colores (cada casa de un color).
2: En cada casa vive una persona con nacionalidad diferente.
3: Estos 5 dueños beben una bebida diferente, fuman una cierta marca y tienen alguna mascota.
4: Ningún dueño tiene la misma mascota, fuma la misma marca o bebe el mismo tipo de bebida que otro.

Detalles:

1: El Ingles vive en la casa Roja.
2: La mascota del Sueco es un perro.
3: El Danés bebe té.
4: La casa verde es la inmediata de la izquierda de la casa blanca.
5: El dueño de la casa verde toma café.
6: La persona que fuma Pall Mall cría pájaros.
7: El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill.
8: El hombre que vive en la casa del centro toma leche.
9: El Noruego vive en la primera casa.
10: La persona que fuma Blend vive junto a la que tiene gatos.
11: El hombre que tiene caballos vive junto al hombre que fuma Dunhill.
12: La persona que fuma Blue Master bebe cerveza.
13: El alemán fuma Prince.
14: El Noruego vive junto a la casa azul.
15: El hombre que fuma Blend tiene un vecino que bebe agua.

La pregunta es ... ¿QUIEN TIENE POR MASCOTA PESCADOS?

Las trece bolas de billar

Tenemos 13 bolas aparentemente iguales en forma, tamaño, color, etc., pero nos aseguran que una de ellas pesa diferente a las otras 12, no nos dicen si pesa más o menos. Con una balanza de dos platillos y en tan sólo tres (3) pesadas debemos de localizar esa bola.

Los tres sabios

En un reino en crisis, el rey Magnánimus pretende eliminar a sus tres sabios consejeros, pero les propone una acertijo que si lo resuelven les perdonará la vida. El rey coloca a los tres sabios en fila india. - "Dispongo de cinco sombreros, tres blancos y dos negros. Os colocaré a cada uno de vosotros uno de estos sombreros en lo alto de vuestra cabeza, de manera que seréis capaces de ver el sombrero que lleva el que está enfrente vuestro pero no el vuestro (de modo que el último sabio de la fila ve a los otros dos, el segundo sabio solo ve al primero y el primer sabio no ve a ninguno de los otros sabios). El juego consiste en que debéis de adivinar lo antes posible el color del sombrero que lleváis y justificar como lo habéis adivinado. Pero si uno de vosotros se equivoca, morireis los tres!!!" - dijo el Rey. Entonces el Rey colocó a cada uno de los tres uno de los sombreros blancos y guardó los dos negros. Empezó preguntando al último de la fila que no respondió nada. Continuó preguntando al segundo que tampoco respondió. Y cuando le tocó al primero, éste respondió: - "Majestad, ¡mi sombrero es blanco!!" -.

¿Por qué?

La serpiente súmica

Sitúa sobre los círculos de la serpiente los números del 1 al 9, de manera que cada línea de tres números, sume 13.

Pares e impares en una suma

Con los números del 1 al 9 realiza la suma que aparece en el tablero, colocando los números pares en los cuadrados y los impares en los círculos.

La rueda numérica

Sitúa los números del 1 al 9 en los cuadros del tablero, de forma que todas las líneas de tres números sumen 15.

Siete números en la Y griega

Coloca las cifras del 1 al 7 en el siguiente tablero, de manera que dos números consecutivos no estén juntos ni vertical, ni horizontal, ni diagonalmente.

Funciones discontinua

Las cuatro gráficas corresponden a funciones discontinuas. Para cada una de ellas, di:
a) Cuáles son los puntos de discontinuidad. Explica la razón de la discontinui-
dad en cada punto.
b) Cuál es su dominio de definición.
c) Indica si tiene máximos y mínimos relativos y di cuáles son.
d) En qué intervalos es creciente y en cuáles es decreciente.

Halla la ecuación de las rectas que aparecen representadas en la siguiente imagen

Halla la expresión analítica de la función cuya gráfica es la siguiente:

Rectas

Describe mediante inecuaciones o sistemas de inecuaciones, los siguientes recintos

Expresa estas situaciones con vectores, indicando su módulo, dirección y sentido.
a) Un barco sale de Canarias con dirección Norte a una velocidad de 10 nudos.
b) Un barco sale de Azores con dirección Sureste y una velocidad de 12 nudos.

Problemas de trigonometría

Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio.

Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol forma un ángulo de 20º 30' sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.

Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 150 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 15º con nuestra orilla. Calcular la anchura del río.

La hache

Divide a la figura en 4 partes iguales en forma y tamaño. Las líneas de corte no deben pasar sobre los emoticones.

Las tijeras mágicas

Una alfombra de 8m por 5m resultó dañada por lo que hubo que cortar un rectángulo de 4m por 1 m tal y como se ve en la figura. A alguien se le ocurrió un método ingenioso para cortar en dos partes la alfombra con las que se podía construir una alfombra cuadrada de 6 metros de lado. ¿Qué aspecto tenían los dos trozos?

¿Cuántas monedas quedan?

El numero de monedas de 1 euro que hay en una caja es tal que su duplo disminuido en 86 es mayor que 200.
Si de la caja se sacan 17 monedas, quedan menos que la diferencia entre 200 y la mitad de las monedas que había primeramente. ¿Cuántas monedas había en la caja?

Engañando la balanza

Deduzca cuánto pesa cada niña

Cinco niñas que descubrieron que pesándose de a dos, e intercambiándose de a una por vez, podían conocer el peso de todas gastando una sola moneda, encontraron que de a pares pesaban 129 libras, 125, 124, 123, 122, 121, 120, 118, 116 y 114. Hay que descubrir ahora el peso de cada una, por separado.

¡Adivina la edad!

Uno de los integrantes del trío de la ilustración cumplía años. Ello despertó la curiosidad de Tommy con referencia a sus respectivas edades, y en respuesta a sus preguntas, el padre le dijo:

"Bien, Tommy, nuestras edades combinadas suman setenta años. Como yo soy seis veces más viejo de lo que tú eres ahora, puede decirse que cuando sea el doble de viejo que tú, nuestras edades combinadas serán el doble de lo que son ahora. Bien, déjame ver si puedes decirme la edad de tu madre".

Tommy, que era brillante con los números, resolvió rápidamente el problema, pero tenía la ventaja de saber su propia edad y podía adivinar con bastante certeza la edad de los otros. Nuestros aficionados, sin embargo, sólo dispondrán de los datos acerca de las edades comparativas de padre e hijo, y de la sorprendente pregunta: "¿Qué edad tiene la madre?".

Un lio con el dómino

He puesto las veintiocho piezas de mi dominó sobre la mesa, formando un gran rectángulo que, sin tener en cuenta más que los números de las fichas, es decir, olvidando las rayas de separación, aparece así:

Problema propuesto

El padre de Eva ha tardado 5 horas y 25 minutos en viajar de Sevilla a Madrid y la madre de
Andrés ha ido de Sevilla a Granada en 2’6 horas. Eva dice que su padre ha hecho el viaje en unas 5
horas y media mientras que Andrés dice que su madre ha tardado en el suyo unas 2 horas y media.
a) ¿Qué error absoluto, expresado en minutos, comete cada uno de ellos?
b) ¿Quién comete un mayor error relativo?

Conjunto de los números reales